線性代數

壹、重點分析

線代可將其分為四大重點，分述如下：

矩陣運算：各種基本矩陣運算、可逆矩陣、trace、行列式、反矩陣、方塊矩陣、行運算、列運算、Vandermonde行列式、Crammer公式、正交矩陣、伴隨矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、方程組求解、QR分解、LU分解、奇異值分解、相似矩陣。
向量空間及線性映射：向量空間定義、子空間、和空間、行空間、列空間、核空間、空間的生成、獨立、基底換算、維度定理、座標化、座標變換、Syliester定理，此部分定理證明題很常見。
內積空間：對角化問題、特徵值、特徵向量、特徵多項式、代數重根、幾何重根、投影算子、光譜分析、Gram-Schmidt正交化、正投影、標準內積、複內積、orthogonal、orthonormal basis、最小平方近似解。
Jordan Form：如何求Jordan Form、廣義固有空間及固有向量、Jordan Form分解、Cayley-Hamilton定理、最小多項式、方陣多項式。

　　其中以向量空間、對角化理論、內積空間最為重要，而Jordan Form理論為最難，但近年有愈考愈多之趨勢，若有志於台清交的同學，不可不注意，其實對角化理論即為Jordan Form理論的special case，所以如果Jordan Form弄懂，對角化理論不看都無妨。
　　線性代數的考題主要是分為計算題與證明題兩類，雖偶爾會出現選擇題或是非題，但也多半要求解釋，仍等於是證明題，計算題較易準備，應確實掌握，當作基本得分，而證明題一般人較難掌握，這也是區分高下的關鍵所在，證明題若抓不到要領，雖不至於就名落孫山，但要考上一流學校的機會也會因此降低，所以證明題較弱的考生務必要確實掌握住計算題才行。

貳、準備要領

　　線性代數是一門完整體系的學科，涵蓋範圍相當廣泛，舉凡數學統計、電機電子、資工資管、工管企管等有關系所的入學考試，都佔有相當份量之比重，然而不同的系所，卻有不同的命題重點，其準備方向需多加注意，以免徒勞無功，得不償失，例如資工所線代不能以準備數研所的方式來準備，其題目不像數研所那樣重視定理證明，因為資工所較重視計算題與應用題目，故較艱澀之定理證明不要死背，只要理解就好，即使公式的由來不是很懂，但是只要會套入計算題中運用，還是可以考得很好，所以準備時最好能注重各種類型的計算題，多做考古題演練，才能掌握較多的分數，而像一些應用問題的例子中，例如題目中若有要用到微分方程、多重微分的技巧運算，其屬工程數學的範圍，在電機所才會考，而像Rayleigh定理、Markov矩陣的題目通常在統研所或工工所考較多，對於準備資工所的同學大可不必花太多時間。
　　線性代數與離散數學最大的不同在於線代是一個整體的系統，從頭到尾必須一氣呵成，千萬不可有部分一知半解而跳過，否則會愈念到後來會愈困難，之後的章節就學不通了，所以念線代一定要由第一章觀念開始入手，一步一步循序漸進地打好基礎，然而離散正好相反，其各部分重點真的很離散，關連性不大，所以若有一、二個地方不太熟，不會影響其他部分，還是不會考得太差，這也是為什麼許多人會半途棄守線代而猛攻離散的原因了，其實線代不是很難，放棄此科目實在蠻可惜的，但僅念一、二次是不夠的，須花較多的時間，因為關連性大，要融會貫通一定要多念幾次，熟悉各定理後再去練習考古題與分析預測題，切記，線性代數每練習一次，就能多理解一分，多增一分實力，數學科目最重要的部分就是在於練習題目。
　　在考前，就已沒有時間可以用地毯式的讀法複習整個線性代數了，若平時已打好基礎當然最好，但若不幸實力不足或讀不完，也不要心急，因為大家在這一科普遍都不好，在考前還是可以利用考古題，由熱門題型著手，遇到不清楚的地方，依隨破隨補的方式，用跳島戰術將自己不熟的地方一步步弄清楚，研究所考試重要題型重複再出現的機率極高，要花最小代價拿到最大可能的得分還是做得到的，沒有人是因為沒讀完而落榜，都是因為沒讀懂而垮掉，千萬不要花太多時間在冷僻的題目上，寧可確實掌握五分題目，也絕對不要去讀十分題目卻弄得到處似懂非懂。
　　考資工所的同學一定要記住，數學這一科絕對不要放棄，勝負的關鍵就在這一科，數學考八、九十分與考二、三十分的人都有，而數學好的人一下子就可以贏個一般人三十幾分，但若是計概、系程或資結其分數差距可能就無法這麼大了，若可以考個六、七十分就算是考很好了，但也只是贏個一般人十來分左右而已。

參、參考書籍

書名	作者	特色
Linear Algebra	Huffman	本書為數研所專研，太函數化，奉勸工學院的同學不要碰。
Linear Algebra	Friedberg & Insel & Spence	非常適合準備電機、資工所同學閱讀，其中True or False 的題目很多，非常重要。
Linear Algebra	Nobel & Daniel	此本為應用線代，交大資工、交大資科用此。
綜合線性代數	廖亦德	以理工研究所的需求為取材標準，並綜合各研究所歷屆考題，值得參考。
線性代數— 綜合剖析題型演練	廖亦德	內容兼顧傳統線性代數與應用線性代數，易讀易懂，是基本用書。

　　有一點需多加注意，在不同的線代教科書中，其數學符號代表的意思可能不太一樣，所以考試最好少用符號，若真的要用符號，最好在旁邊多加個註解，或者事先打聽出所要考的所是用哪一本教科書，再去使用那一本書所定義的符號較好。最後奉勸各位同學，其實只要把廖亦德老師所編的綜合剖析題型演練與綜合線性代數弄懂念熟，去應付考試以措措有餘了，除非您時間真的還有很多，再去鑽研原文教科書。

肆、線性代數準備方向：

矩陣運算：各種基本矩陣運算、可逆矩陣、trace、行列式、反矩陣、行運算列運算、方程組求解等基本矩陣的性質我們都要非常熟悉。而其中特殊的矩陣，例如正交矩陣、伴隨矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、相似矩陣等我們都要了解這些矩陣的特性，尤其統研所很喜歡考正交矩陣、對稱矩陣的考題，讓考生球對角化及相關問題。
向量空間及線性映射：向量空間的定義、子空間（今年成大考了一題）、和空間、空間的生成及獨立（今年中興考一題）、基底換算、維度定理、座標化、座標轉換等基本線代定理，我們還是要知道定理且應用它，至於定理的證明，則是屬於數學系會考的範圍，我們不必去理會。
內積空間：內積空間是線性代數理最重要的部分，也是統研所最愛考的地方，其中對角化、特徵值、特徵向量、投影算子、Gram-Schmidt正交化、正投影、最小平方求解等題型是統研所的最愛，幾乎每年都會有類似題出現。另外特徵多項式、代數重根、幾何重根、正交基底、正交單位化基底等觀念，大家還是要熟悉一下。
Jordan form：這一部份是線代最難的部分，不過幸運的是，統研所幾乎不考Jordan-form的部份，大部份都是數研所在考的。但其中Cayley-Hamilton定理、最小多項式的觀念要熟悉一下。
統研所近年來有考到光譜分析、Markov矩陣的部份，大家可加強一下。

--以上摘錄自高點研究所